根据题目给出的条件，首先得出A点和B点的坐标，并且可以画出这个图形。
A点坐标：(-1, 0)
B点坐标：(3, 0)
然后根据题目给出的条件，可以得出如下关系：
1) 过A点和B点的直线与y轴交于C点。
2) BC的长度为3√2。
首先，我们计算A点和B点之间的距离AB：
AB = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]
= √[(3-(-1))^2 + (0-0)^2]
= √[(3+1)^2]
= √[16]
= 4
考虑到BC的长度为3√2，我们需要求出BC的长度，同时根据BC的长度和AB的长度之间的关系，求出具体数值。设BC的长度为d，则有：
d = AB - 3√2
= 4 - 3√2
因此，我们可以计算出BC的长度为4 - 3√2。
根据题目给出的条件，且已知B点的横坐标为3，可以得出直线的斜率k为0，即这条直线是水平线。
因此，直线方程可以写成y = 0。
综上所述，过A(-1, 0)和B(3, 0)且与y轴交于C点的二次函数解析式为：
f(x) = a(x+1)(x-3)，其中a为非零实数。
根据题目中的条件BC = 3√2，带入直线方程，可以得到方程有一个解为x = 3 - 3√2。
根据二次函数的性质，对于一个二次函数 f(x) = a(x+1)(x-3)，该函数的图像将关于x = -1 对称。
因此，方程的解析式为：
f(x) = a(x+1)(x-3)
可以通过未知数a的值来确定解析式的具体形式。
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